A shooting algorithm for problems with singular arcs

In this article we propose a shooting algorithm for a class of optimal control problems for which all control variables appear linearly. The shooting system has, in the general case, more equations than unknowns and the Gauss-Newton method is used to compute a zero of the shooting function. This shooting algorithm is locally quadratically convergent if the derivative of the shooting function is one-to-one at the solution. The main result of this paper is to show that the latter holds whenever a sufficient condition for weak optimality is satisfied. We note that this condition is very close to a second order necessary condition. For the case when the shooting system can be reduced to one having the same number of unknowns and equations (square system) we prove that the mentioned sufficient condition guarantees the stability of the optimal solution under small perturbations and the invertibility of the Jacobian matrix of the shooting function associated to the perturbed problem. We present numerical tests that validate our method. Key-words: optimal control, Pontryagin Maximum Principle, singular control, constrained control, shooting algorithm, second order optimality condition, stability This work is supported by the European Union under the 7th Framework Programme FP7-PEOPLE-2010-ITN Grant agreement number 264735-SADCO ∗ CIFASIS-CONICET Argentina ([email protected]) † INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) ([email protected]) in ria -0 06 31 33 2, v er si on 2 5 Ju n 20 12 Un algorithme de tir pour les problèmes de commande optimale avec des arcs singuliers Résumé : Dans ce travail on présente une condition suffisante pour que l’algorithme de tir soit localement convergent quand il est appliqué aux problèmes de commande optimale affines dans les commandes. On commence par étudier le cas avec des contraintes initiales-finales sur l’état et commande libre, et en suite on ajoute des contraintes sur la commande. L’algorithme de tir est localement quadratiquement convergent si la dérivée de la fonction de tir associée est injective dans la solution optimale. Le résultat principal de cet article montre une condition suffisante pour cette injectivité, qui est très proche de la condition nécessaire du second ordre. On montre que cette condition suffisante assure la stabilité de la solution optimale aux petites perturbations et qu’elle garantit aussi que l’algorithme de tir est convergent pour le problème perturbé. On présente des essais numériques qui valident notre méthode. Mots-clés : commande optimale, Principe de Pontryaguine, commande singulière, contraintes sur la commande, algorithme de tir, conditions d’optimalité du second ordre, stabilité in ria -0 06 31 33 2, v er si on 2 5 Ju n 20 12 A shooting algorithm for problems with singular arcs 3